Materi Bilangan (Pengayaan)

Soal

1. Tiga bilangan asli jumlahnya 20. Jika bilangan pertama dan kedua masing-masing  

    dikurangi 2 ,maka   memiliki perbandingan 2 : 5. Apabila bilangan kedua dan ketiga 

     masing-masing ditambah 5 , maka  memiliki perbandingan  6 : 7. Tentukan  hasil

     perkalian ketiga bilangan tersebut.

2. Tujuh bilangan  bulat  berurutan mengikuti barisan aritmatika  berjumlah  105 . Jika

    bilangan pertama   ( 2x-2 )  dan bilangan terakhir ( 5x + 4 ).  Tentukan nilai  x  dan median 

    dari barisan bilangan  tersebut.

3.   Lima bilangan  bulat  berurutan mengikuti barisan geometri. Rata-rata kelima bilangan

      tersebut   adalah 12,4.  Jika  bilangan pertama  adalah x dan bilangan  terakhir  16 x.  

     Tentukan nilai  x  dan  median  dari barisan bilangan tersebut.

4.  Lima bilangan  pecahan dengan penyebutnya  berurutan mengikuti barisan geometri.

    Jumlah  kelima bilangan pecahan tersebut  adalah  ¹²¹/₂₄₃ .  Jika  bilangan pertama  adalah  

    ¹/_x dan bilangan  terakhir   3^-4x^{- 1} .   Tentukan nilai  x  dan    median  dari barisan bilangan

     tersebut.

5. Perhatikan barisan dan deret aritmatika  di bawah ini :

   (1), (1 +3), (1 + 3 + 5), (1 + 3 + 5 + 7), (1 + 3 + 5 + 7+ 9),....

   Berapakah  jumlah seluruh bilangan pada  barisan  ke -41 dan bilangan paling tengah  pada

   barisan kelompok bilangan ke-41.

6. Perhatikan barisan dan deret aritmatika  di bawah ini :

   (2), (2 +4), (2 + 4 + 6), (2 + 4 + 6 + 8), (2 + 4 + 6 + 8+ 10), ....

   Berapakah  rata-rata kelompok  bilangan pada  barisan  ke -50 dan bilangan paling tengah 

     pada  barisan  kelompok bilangan ke-51.

7. Perhatikan barisan dan deret aritmatika  di bawah ini :

   (2), (2 +2√3), (2 +2√3+ 2√5), (2 +2√3+ 2√5+ 2√7), (2+2√3+ 2√5+ 2√7+ 6),....,(2+ ....+2√n)

   Berapakah  paling tengah  pada barisan kelompok bilangan ke-121.

8. Perhatikan barisan dan deret aritmatika  di bawah ini :

   (√2), (√2 +2), (√2 +2+√6), (√2 +2+√6+2√2), (√2 +2+√6+2√2 +√10),..., (√2 + ...+ √2n)

   Jika bilangan  paling tengah  pada  kelompok barisan  adalah  8 , Barisan kelompok

     bilangan  keberapakah itu ?

lihat Penyelesaian Soal

Penyelesaian soal

1. Penyelesaian :

Misalkan bilangan tersebut a, b, dan c

   a - 2   = 2     sehingga     5a – 10 = 2b - 4 

  b – 2      5                         5a  =  2b + 6

                                             a = ²/₅ b + ⁶/₅

  b + 5   =  6   Sehingga 7b + 35 = 6c + 30

  c + 5       7                      6c = 7b + 5

                                           c = ⁷/₆ b + ⁵/₆

   a + b + c = 20

 (²/₅ b + ⁶/₅) + b + (⁷/₆ b + ⁵/₆ )  = 20

 ¹²/₃₀ b + ³⁶/₃₀ + ³⁰/₃₀b + ³⁵/₃₀ b + ²⁵/₃₀ = ⁶⁰⁰/₃₀

⁷⁷/₃₀b  + ⁶¹/₃₀ =⁶⁰⁰/₃₀

  77b  + 61 = 6  00

 77b = 600 – 61

77b = 539

    b = ⁵³⁹/₇₇   maka   b = 7

   a = ²/₅ b + ⁶/₅

   a = ²/₅(7) + ⁶/₅

   a = ¹⁴/₅ + ⁶/₅

   a = ²⁰/₅    sehingga a = 4

   a + b + c = 20

   4 + 7 + c = 20  maka   c = 9

   abc = 4 x 7 x 9       jadi abc = 252

2. Penyelesaian:

n = 7     ;  a = 2x – 2   ;        U₇ = 5x + 4  ;  S₇ = 105

Sn = ½ n(a+Un)

S₇ = ½ .7(a+U₇)

105 =  ½ _.7{ (2x – 2 ) + (  5x + 4)} 

105 = ½_. 7 (7x + 2)

105 . 2 =7 (7x + 2)

210 = 49 x + 14

49x = 196  sehingga x = 4

Jadi a = 2(4) – 2  serta   bilangan terakhir  ketujuh  = 5(4) + 4 

        a = 6                                                      U7 = 24

Un = a + (n -1)b

 U₇ = a + 6 b  maka  24 = 6 + 6b

                                  6b = 18 sehingga b = 3

Jadi bilangan tersebut adalah : 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24

Jadi  nilai x = 4 dan median = 15

  3.  Penyelesaian :

     n = 5  dan S₅ = 12,4 x 5 = 62 ; a = x ;  U₅ = 16x

     Un = ar ^n-1

    U5 = ar ^5-1

    16x = x.r⁴   maka r⁴ = 16   sehingga r = 2

    Sn =  a (rⁿ – 1)

                r - 1

  S5 =  x (2⁵ – 1)

                2 - 1

  62 =  x (32 – 1)   sehingga   31x = 62  maka    x = 2

                 1

   Barisan bilangan tersebut adalah : 2, 4, 8, 16, 32

  Jadi , nilai x = 2 dan median = 8

4.Penyelesaian

  a = ¹/_x =x^-1 dan  U5 = 3^-4x^{- 1}

    Un = ar ^n-1

    U5 = ar ^5-1

    3^-4x^{- 1} = x^-1 r ^5-1

    3^-4x^{- 1} = x^-1 r ⁴  maka   r ⁴  = 3^{- 4}  sehingga   r =3^{- 1} atau r = ⅓

 Sn =  a (1- rⁿ)

              1-  r

  S₅ =  x^-1  (1- (3^{- 1})⁵)

                3^{- 1}- 1

  ¹²¹/₂₄₃  =  x^-1 (1- 3^-5)

                   1-  3^-1

  ¹²¹/₂₄₃  =  x^-1 (²⁴²/₂₄₃)

                   ²/₃

  ¹²¹/₂₄₃ (²/₃) =  x^-1 (²⁴²/₂₄₃)

  ²⁴²/₇₂₉  =  x^-1 (²⁴²/₂₄₃)

x^-1 = ²⁴²/₇₂₉  .  ²⁴³/₂₄₂

x^-1 = ¹/₃  atau  x^-1 = 3^-1 jadi x = 3

Jadi barisan bilangan tersebut adalah  ¹/₃, ¹/₉, ¹/₂₇, ¹/₈₁, ¹/₂₄₃

Sehingga median =  ¹/₂₇

5.  Penyelesaian

Jumlah bilangan suku ke

S1= 1 ; S2=4; S3= 9: Sn = n²  Sehingga S₄₁ = 41² atau S₄₁ = 1681

Bilangan paling tengah (Me) kita amati pada deret ke

S1 =1; S3 =3; S5 = 5; Sn = n  sehingga S₄₁ = 41

6. Penyelesaian

Jumlah bilangan suku ke

S1= 2 ; S2=6; S3= 12: S4= 20 ; Sn = n² + n  Sehingga S₅₀ = 50² + 50  atau S₅₀ = 2550 maka rata-rata  pada S50 = 2550: 50 = 51

Bilangan paling tengah kita amati

S1 =2; S3 =4; S5 = 6; Sn = n+1  sehingga S₅₁ = 51 + 1 atau S51 = 52

7. Penyelesaian

   (2), (2 +2√3), (2 +2√3+ 2√5), (2 +2√3+ 2√5+ 2√7), (2 +2√3+ 2√5+ 2√7+ 6),....,(2+ ....+2√n)

Dapat diubah menjadi

   (2√1), (2√1+2√3), (2√1+2√3+2√5), (2√1+2√3+2√5+ 2√7), (2√1 +2√3+ 2√5+ 2√7+ 2√9),...., ( 2√1 + ....+2√n)

Bilangan paling tengah (Me)  kita amati pada deret ke

S1 =2√1; S3 =2√3; S5 = 2√5; Sn = 2√n  sehingga S₁₂₁ = 2√121   atau S₁₂₁ = 22

8. Penyelesaian

   (√2), (√2 +2), (√2 +2+√6), (√2 +2+√6+2√2), (√2 +2+√6+2√2 +√10),..., (√2 + ...+ √2n)

Dapat diubah menjadi

   (√2), (√2 +√4), (√2 +√4+√6), (√2 +√4+√6+√8), (√2 +√4+√6+√8 +√10),..., (√2 + ...+ √2n)

Bilangan paling tengah kita amati

S1 =√2; S3 =√4; S5 = √6; Sn = √(n+1)  sehingga S_n = 8   atau S_n = √64 atau S_n = √(63+1)

Jadi barisan kelompok bilangan ke-63